I - Comparaison de deux proportions
Exemple : Un échantillon de 300 votants d'une circonscription A, et de 200 votants d'une circonscription B, a montré que respectivement 32 % et 35 % sont en faveur d'un candidat donné. On veut savoir si cette différence est significative, c'est-à-dire tester l'hypothèse H0 : p1 = p2 , où p1 et p2 sont les proportions de votants favorables au candidat en A et en B.
On suppose que le nombre de votants en A et B est assez grand pour que le tirage soit considéré comme non exhaustif ( "avec remise" ), et que n1 et n2 sont assez grands pour que f1 et f2 soient des réalisations de lois normales :
F1 de loi N
et F2 de loi N
donc F1 - F2 suit une loi
N
Si H0 est vraie, connaît-on entièrement la loi de F1 - F2 ?
Dans ce cas, p1 = p2= p,
F1 - F2 suit une loi N
p étant inconnu, on le remplace, de façon approchée, par son estimation f.
Quel est le meilleur estimateur de p :
Nous avons déjà vu un problème semblable : Echantillonnage-Estimation - Leçon 3 - Exercice 6
Donc f est la proportion obtenue en regroupant les 2 échantillons.
=
Le test de H0 : p1 = p2 contre H1 : p1 ¹ p2 ( ou p1 > p2 , ou p1 < p2 ) est basé sur la variable de décision F1 - F2 qui, si H0 est vraie, suit à peu près une loi
N , avec .
Dans le cas présent, combien vaut, si H0 est vraie, l'écart-type de F1 - F2 ?
Peut-on dire, au risque a = 5 %, que p1 = p2 ?
Peut-on dire, au risque a = 5 %, que f2 est significativement supérieur à f1 ?
Ce test est appelé test Z pour 2 proportions ; comme pour les autres tests vus jusqu'ici, les logiciels ou calculettes fournissent la probabilité critique p ( ou niveau de signification ), à comparer à a.
Sur cet exemple, dans le cas unilatéral, on a p =
Cela signifie que, si on se fixe a inférieur à p, on H0 ?